TECNICAS DE CONTEO

TÉCNICAS DE CONTEO 

 El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  n1 x n2.

* La técnica de la multiplicación

* La técnica aditiva

* La técnica de la suma o Adicion

* La técnica de la permutación 

* La técnica de la combinación. 

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

 N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N + .........+ W  maneras o formas

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:

                      m+n maneras.

Regla general del conteo.

  si un experimento esta compuesto por  k  ensayos realizados en un orden definido, donde el primero tiene n  resultados posibles, el segundo posee  n2 resultados posibles, el tercero tiene n3 resultados posibles, etc. entonces el numero de resultados posibles para el experimento es
                n X n2 X n3 X ...... nk

Regla fundamental 

   si un experimento esta integrado por dos ensayos, donde uno de ellos (una sola accion o elección) tiene  m resultados posibles y el otro ensayo tiene  n  resultados posibles, entonces cuando los ensayos se realizan juntos, se tiene
                 m x n

PERMUTACION:

Se llaman permutaciones de "n" objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar estos que forman parte de un conjunto no infinito. Esto quiere decir que una permutación es un cambio de la manera en la que se disponen los elementos. ; todas las permutaciones constan de los mismos "n" elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos.

Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los "n" objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto se puede hacer de "n" maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección del "n-ésimo" objeto sólo se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental del conteo se tiene: Pn = n(n-1)(n-2)...3*2*1, que nos conduce a la defi nición de factorial:

P n=n!

COMBINACIÓN:

Se llaman combinaciones de "n" objetos de orden "r" a los distintos grupos que se pueden formar al escoger secuencialmente "r" objetos de entre "n" posibles, de modo cada una de las combinaciones es distinta de las demás, si difiere en uno de sus objetos por lo menos, sin importar el orden.

Para calcular el número de combinaciones de "r" objetos que se pueden formar con los "n" objetos disponibles, se considera que, por cada combinación de "r" objetos, existen "r!" ordenaciones equivalentes de "r" objetos; en efecto, cada combinación de "r" objetos se puede permutar de "r!" maneras diferentes, generando "r!" ordenaciones. De modo que basta con dividir el número de ordenaciones de "n" objetos de orden "r", entre las permutaciones de "r" objetos para obtener las combinaciones de "n" objetos de orden "r"

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

                                                          n C r = n!                          r! (n – r)!