Probabilidad Condicional
La
probabilidad de que un evento 
ocurra cuando se
sabe que ya ocurrio un evento A se
llama probabilidad condicional y se denota por P(B/A) que
por lo general se lee como probabilidad de que “ocurra B dado que ocurrió A”.
Esta probabilidad se define como:
ocurra cuando se
sabe que ya ocurrio un evento A se
llama probabilidad condicional y se denota por P(B/A) que
por lo general se lee como probabilidad de que “ocurra B dado que ocurrió A”.
Esta probabilidad se define como:
P(B/A)
= P(B∩A) / P(A) CON P(A) › 0
La
probabilidad condicional es una función de probabilidad, P( ./A) definida
como
P (./A) : A
= (0.1)
B
= P(B/A) = P( B ∩ A)/ P(A)
¿Es
P(B/A) una función de probabilidad?
P(./A) es
una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas
Axioma I
O
≤ P (B/A) ≤ 1 para todo evento B.
Como
O ≤ P (B∩A)
≤P(A)
entonces
dividiendo por P(A) se tiene los términos de la desigualdad se tiene
O ≤ P (B∩A)
/ P(A) ≤1
Ejemplo
1)
La antena de una instalación de radar
recibe, con probabilidad
,
una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad solo la interferencia pura. Al suceder una
señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal
con probabilidad, cuando aparece una interferencia pura con la
probabilidad. Sí la instalación ha indicado la existencia de
cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido
ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.
,
una señal útil con una interferencia superpuesta, y con probabilidad solo la interferencia pura. Al suceder una
señal útil interferida, la instalación indica la existencia de cualquier señal
con probabilidad, cuando aparece una interferencia pura con la
probabilidad. Sí la instalación ha indicado la existencia de
cualquier señal, determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido
ocasionada por una señal útil con interferencia superpuesta.
Solución:
Sean
U: el evento la señal es útil con interferencia superpuesta
I:
el evento la señal es útil con interferencia pura
S:
el evento que indica ocurre una señal
Con
base en el diagrama, la probabilidad se puede calcular así:
P(U/S)=PXP1/PXP1+(1-P)P2
2) Entre los 200 empleados de una empresa hay
150 graduados, 60 del total consagran parte de su tiempo por lo menos a
trabajos técnicos, 40 de los cuales son graduados. Sí se toma al azar uno de
estos empleados, cuál es la probabilidad de que:
a. Sea graduado dado que se sabe no consagra su
tiempo al trabajo técnico?
b. No sea graduado dado que se sabe no consagra su
tiempo al trabajo técnico?
Solución:
Sean
los eventos:
G:
|
el empleado es graduado
|
|
T:
|
el empleado dedica parte de su
tiempo a trabajos técnicos
|
De
la información dada se puede elaborar parcialmente una tabla de contingencia
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|||||||||
Graduados (G)
|
40
|
150
|
|||||||||
No graduados
|
(Gc)
|
||||||||||
Total
|
60
|
200
|
La
cual se puede completar como se muestra a continuación
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||||||||
Graduados (G)
|
40
|
150
|
||||||||
No graduados
|
(Gc)
|
|||||||||
Total
|
60
|
200
|
a. La probabilidad de que sea graduado dado que
se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico, P(G/Tc)se puede calcular en
este caso de manera fácil utilizando la tabla de contingencia, en la cual esta probabilidad
es calcula determinando proporción de los de otros trabajos son graduados es decir,
dada como el cociente entre es
p(G/Tc)=110/140=0,786
También
es posible calcularla mediante la definición de probabilidad condicional
P(G/Tc)=P(G∩Tc/P(Tc)
=110/200/140/200=0,786
b. La probababilidad de que no sea graduado dado que
se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico es también determinada por
medio de la tabla de contingencia
P(Gc/Tc)=30/140=0,214
También
por la definición de probabilidad condicional se tiene
P(Gc/Tc)=P(Gc∩Tc)/P(Tc)
y
por la ley de Morgan (Gc∩Tc)=(GUT)C
P(Gc/Tc)=p(GUT)c
=1-p(GUT)c/140/200
y
como P(GUT)=P(G)+P(T)-P(G∩T)=0,85 . Luego
P(Gc/Tc) =1-0.85/140/200
=0,2143
3) Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene
3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se
selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la
probabilidad de que la esfera sea blanca.
Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el
evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(AC) =
1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser
extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) =
3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/AC)
= 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos:
P(B)=P(A).P(B/A)+P(Ac).P(B/Ac)=13/27+18/212=23/42
4) Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?
Solución: El
espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es
S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres
lanzamientos es:
A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}
El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}
Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y
De donde P(B/A)=P(A∩B)/P(A)=1/7
Nótese que P(A/B)=1/7es la probabilidad de una ocurrencia
en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la
probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con
relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.
La primera semilla sea roja?
La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
Solución:
La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:
La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por
, y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.
Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.
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